ひめたろ🐕️です。
今回から文字式の利用について解説していきます！
文字式の利用は、いわば文字式を使った文章問題という感じですね。
この文章問題はレパートリーとして、大きく４つほどあります。
それが整数、図形の面積・体積、速さ、割合の問題です。
１つの記事で４つすべて話すには長くなりすぎてしまうので
今回は整数の問題のみ取り上げて解説します！
※中１で文字式の基本を学んだ上での学習となっています。
もし文字式の基本で不安を抱えている方がいましたら、こちらの記事で復習してみてください。
文字式の基本を踏まえたうえで学んでいきましょう！
１．文字式の利用 整数編
文字式の利用でよく出てくる文章問題が整数の問題です。
ここで頻出問題のポイントを押さえていきましょう。
①xを真ん中の値として連続する3つの整数を表すときは、「x−１」、「x」、「x＋１」と表す！
②10の位をx、1の位をｙとした場合の整数を表すときは、10ｘ＋ｙとする！
③ｘを整数とすると、偶数は２ｘ、奇数を２ｘ＋１または２ｘ−１と表す！
Point①について・・・
整数の頻出問題では連続する３つの整数があります。
なぜ①のような表現になるかというと、まず普通の整数を例として説明しましょう。
例：連続する整数「１、２、３」があるとします。
Point①での話だと、設定はxを真ん中としました。
つまり、x＝２ですね。
x（＝２）に対して、１はxから１を引いた数になりますよね。
つまり、１＝x−１と表現できます。
逆にx（＝２）に対して、３はxに１を足した数になりますよね。
つまり、３＝x＋１と表現できます。
よってxを真ん中の値とした連続する３つの整数は、x−１、x、x＋１になるのです。
Point②について・・・
文字だけで2桁の整数を表す場合もよく頻出されます。
これも実際の整数を例として説明しましょう。
例：12という整数があるとします。
この十の位と一の位を分けて12の整数を表してみます。
その場合十の位は１、一の位は２ですよね。
つまり、12＝１×10＋２となります。
Point②の設定では十の位をx、一の位をｙとすると
2桁の整数＝ｘ×10＋ｙ＝10ｘ＋ｙとなります。
Point③について・・・
奇数とは… １、３、５、７、９・・・ということで２で割り切れない整数
偶数とは… ２、４、６、８、10・・・で２で割り切れる整数
設定ではｘを整数としたとき、奇数と偶数を表すと
偶数は２ｘ、奇数は２ｘ＋１または２ｘ−１となるのです。
ｘは整数であれば奇数でも偶数でも構いません。
例：ｘが１のとき
２ｘ＝２で偶数に、２ｘ＋１＝３で奇数となります。
例：ｘが２のとき
２ｘ＝４で偶数に、２ｘ＋１＝５で奇数となります。
こうしてPointを挙げましたが、暗記しなくともこの原理さえ理解できれば文字式で表すことができます。
２．例題
さあ、次に例題に行きましょう！
確認テストや定期試験では下のように問題が出題されます！
Eｘ１．連続する３つの整数がある。真ん中の整数をｘとする。
１）３つの整数をｘを使って表しなさい。
（解説）これは先程のPoint①の考えを用いて
「ｘ−１、ｘ、ｘ＋１」となります。
２）３つの整数の和をｘを用いて表しなさい。
（解説）和ということは足し算なので、１）で求めた３つの整数を足せば答えです。
ｘ−１＋ｘ＋ｘ＋１＝３ｘ
３）３つの整数の和が75のとき、真ん中の整数はなにか。
（解説）３ｘ＝75より、ｘ＝25
Eｘ２．2桁の整数の十の位がｘ、一の位がｙとします。
１）２桁の整数をｘとｙを用いて表しなさい。
（解説）これは先程のPoint②の考え方を用いて、10ｘ＋ｙ。
２）十の位と一の位を入れ替えた数を表しなさい。
（解説）十の位ｘと一の位ｙを入れ替えた数ということは
十の位をｙ、一の位をｘとした数のことですね。
つまり、10ｙ＋ｘということです。
３）もとの数と入れ替えた数の差を、ｘとｙを用いて表しなさい。
（解説）この問題では、１）で求めた文字式から２）で求めた文字式を引けばいいだけです。
つまり
10ｘ＋ｙ−（10ｙ＋ｘ）＝10ｘ＋ｙ−10y−ｘ＝９ｘ−９ｙ
Eｘ３．連続する３つの奇数がある。
１）ｘを整数とすると、ｘを用いて奇数を表しなさい。
（解説）奇数は２で割り切れない整数でしたね。Point③の考え方を用いると、
２ｘ＋１または２ｘ−１ ※特に条件なければどちらでもOK！
２）３つの奇数を１）の答えを真ん中の数として、xを用いて表しなさい。
（解説）真ん中の数を１）の答えとすると、２ｘ＋１でしたね。
※２x−１でもいいです。今回は２x＋１を用います。
連続する奇数は、前後の数が２違うはずです。
例：１、３、５、７・・・ ２ずつ違いますね。
ということは、２x＋１を真ん中とすると
それより１つ小さい奇数は、２x＋１−２＝２x−１
また真ん中の奇数より１つ大きい奇数は、２x＋１＋２＝２x＋３
となります。
３）その和が95のとき、真ん中の数を求めなさい。
（解説）真ん中の数を求めるにはxがなんの数なのかを求める必要があります。
まず3つの連続する奇数の和をxで表してみましょう！
２）で求めた３つの文字式をすべて足してみます。
２x−１＋２x＋１＋２x＋３＝６x＋５
問題文によると、この３つの奇数の和が75なので
6x＋５＝95
6x＝90
x＝15 出ましたね。
△ここで終わりじゃないです！！！
求めたいものはなんでしたっけ？？
xの値ではなく、連続する奇数の真ん中の数でしたね！
２×15＋１＝31 となります。
次に確認問題へ参りましょう！
３．確認問題
ここでは例題と類似している問題に加えて、応用問題も出題していきます！
全10問です。
①連続する２つの整数がある。小さい数をxとすると、大きい数はどうなるか。
②連続する３つの整数がある。真ん中の整数をｘとする。
③２桁の整数の十の位がｘ、一の位がｙとします。
２）元の２桁の整数から、十の位と一の位を入れ替えた整数を引いた差をxとｙを用いて表しなさい。
３）２）の差が36だった。これらの条件が揃っている、もとの２桁の整数をすべて答えよ。
④連続する３つの偶数がある。
２）連続する３つの偶数の真ん中の数を１）とします。連続する３つの偶数を答えよ。
３）連続する３つの偶数の和が60とする。連続する３つの偶数の真ん中の数を答えよ。
４）連続する３つの偶数のうち、最大の数と最小の数の積は真ん中の数の平方より16小さい。
３つの偶数を求めよ。
解答解説どうぞ↓↓↓
①ｘ＋１
→連続する整数なので、小さい数に１足すと大きい数になります。
②１）ｘ−１、ｘ、ｘ＋１
→これは例題と同じですね。
連続する整数なので、ｘより小さい数は１引いた数だし、ｘより大きい数は１足した数です。
２）30
→３つの整数の和はｘを用いると
ｘ−１＋ｘ＋ｘ＋１＝３ｘ
その整数の和が90なので
３ｘ＝90 ｘ＝30
求めるのは連続した3つの整数の真ん中の数なので30が答えです。
③１）10ｘ＋ｙ
→これは例題と同じです。
２）９ｘ−９ｙ
３）40、51、62、73、84、95
→ここで少し応用出しました。
ですが、落ち着いて解けば問題ないです！
設問では２）の答えが36になるという話でしたね。
なので
９ｘ−９ｙ＝３６です。
もっと簡単な式にできそうなので、９で両辺割ってみます。
ｘ−ｙ＝４ となります。
あとは、この条件に合う数字の組み合わせを見つけていくだけです。
ｘとｙは１桁の整数のみですので、
（ｘ，ｙ）＝（４，０）、（５，１）、（６，２）、（７，３）、（８，４）（９，５）
【補足】
ただここで疑問に思う人もいると思います。
（ｘ，ｙ）＝（４，０）の場合、10ｙ＋ｘ＝４になって１桁になるけど、それはいいの？
この問題では、10ｙ＋ｘが「2桁」の整数になるとは話していません！！！
もし条件として2桁の整数になると書いてあったら
（ｘ，ｙ）＝（４，０）は当てはまりません。
が、もう一度いいます。
10ｙ＋ｘが「2桁」の整数になるとは話していませんので
（ｘ，ｙ）＝（４，０）も当てはまるのです。
④１）２ｘ
→偶数とは２で割り切れる整数でしたね。
２）２ｘ−２、２ｘ、２ｘ＋２
→連続する偶数は例えば２、４、６・・・といった感じで
小さい偶数から２ずつ増えています。
３）20
→連続する３つの偶数の和は２）を用いると
２ｘ−２＋２ｘ＋２ｘ＋２＝６ｘ です。
この和が６０なので
６ｘ＝60 ｘ＝10 ←ここで終わらない！！！！
求める答えはなんでしたっけ？
連続する3つの偶数の真ん中の整数ですよね？
２ｘ＝２×10＝20
４）存在しない。
→ここは問題文に沿って解読してみましょう。
連続する３つの偶数（２ｘ−２、２ｘ、２ｘ＋２）のうち、
最大の数（２ｘ＋２）と最小の数（２ｘ−２）の積（＝掛け算）ということは
（２ｘ−２）×（２ｘ＋２）ですね
この積が真ん中の数（２ｘ）の平方（＝２乗）より16小さいということは
（２ｘ−２）（２ｘ＋２）＝（２ｘ）²−16
あとは整理していきましょう。
４ｘ²−４＝４ｘ²−16
−４＝−16？？？？？
意味不明な式ができました。
つまり、答えが存在しない、ということです。
ちょっとした引っ掛けでした。
４．まとめ
ここまでお疲れ様でした！
文字式の利用 整数編いかがでしたか？
ポイントは以下の通りでした！
①xを真ん中の値として連続する3つの整数を表すときは、「x−１」、「x」、「x＋１」と表す！
②10の位をx、1の位をｙとした場合の整数を表すときは、10ｘ＋ｙとする！
③ｘを整数とすると、偶数は２ｘ、奇数を２ｘ＋１または２ｘ−１と表す！
整数のみの解説でしたが、なかなかボリューミーでしたね。
よく入試問題でも出やすい分野なのでゆっくり考えてみてください。
応用問題もちらほらあったので、わからないことはコメントへどうぞ！！
それでは！
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