こんにちは！
ひめたろ🐶です。
今回は中学1年生の数学で学ぶ、比例・反比例について解説していきたいと思います。
以下のこんな方におすすめです！
比例と反比例ってなに？
比例と反比例をグラフにするとどうなるの？
テストで出るならどんな感じ？
この記事を見れば、比例・反比例の基礎が学べます！
学校の授業の予習または復習に活用していただけたらと思います。
比例・反比例とは？
それでは比例・反比例の定義について説明します。
比例とは
比例とは、ｙ＝axの関係のことです。
いきなり何！？という感じでしょうか？
ｙはaxの値、aは変数または比例定数という値、ｘは1、２、３・・・ですね。これだけだとみなさん意味不明で挫折しそうなので、例題を出します！
Ex．ｙ＝６ｘという式があるとします。
| ｘ | １ | ２ | ３ | ４ | ５ |
| ｙ | ６ | 12 | 18 | 24 | 30 |
そうすると上の表のように、x＝１、２、３、４、５となるにつれて、ｙの値は増えていきます。しかもある法則があるのに気づきますか？
それはｘの値に６をかけると、ｙの値になりますよね。
つまり式にすると・・・ｙ＝６ｘという式だということがわかります。
このように、あるきまった数値にｘ（＝１、２、３・・・）をかけていくと段階的にｙの数値が増えていくことを比例といいます。このとき、ｙはｘに比例するといいます。
また、aの値は基本的に固定された数なので比例定数といいます。今の例題の式でいうとyとxの値は変わるのにa＝６は変わりないですよね？そういうことです。
ｙの値を縦、ｘの値（＝1～６）を横として、線グラフにすると下図になります。
きれいな一直線ですね。このｙとｘの関係が比例になります。線グラフのイメージとして覚えておいてください。
ところでxの値が－１、－２、－３、－４、－５と減っていくとどうなるのでしょうか？
ここでもy＝６xにそれぞれxを代入していきます。表で示すと下のようになります。
| x | －５ | －４ | －３ | －２ | －１ |
| y | －30 | －24 | －18 | －12 | －6 |
線グラフで表すと下図になります。先ほどと逆になりますね。
それでは次にｙ＝ａｘのａが－（マイナス）ならばどうでしょうか？ここでも例題を挙げます。
Eｘ．ｙ＝－６ｘという式があるとします。
ここではｘ＝－５～５でまとめて表にすると下のようになります。
| x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | 30 | 24 | 18 | 12 | 6 | 0 | -6 | -12 | -18 | -24 | -30 |
そして線グラフにすると下図になります。
こちらもきれいな直線です。比例はaの値がマイナスだろうとプラスだろうと、きれいな直線になることは覚えておきましょう。
反比例とは
反比例とは、ｙ＝ａ/ｘのことです。
次はｙの値はａをｘ（ｘ＝１、２、３、４・・・）で割ったものですね。言葉よりも表や線グラフで表したほうがわかりやすいと思うので、さっそく例題に移りましょう！
Eｘ．ｙ＝６/ｘという式があるとします。
| ｘ | １ | ２ | ３ | ４ | ５ |
| ｙ | ６ | ３ | ２ | 3/2 | 6/5 |
そうすると、上記の表のように、ｘ＝１、２、３、４、５と増えるにつれて、ｙの値は減っていきます。そしてある法則性に気づきますね？
それは６をｘの値で割ると、ｙの値になります。
このような関係性を反比例といいます。このときｙはｘに反比例するといいます。
そして、比例の時と同じようにｙの値を縦、ｘの値（x＝１～５）を横として線グラフで表すと下図になります。
比例と違って、曲線でxの値が大きくなるほどyの値が減りますね。
また、ｘの値が－（マイナス）になる場合もあるので、それも考えていきましょう。ここでもｙ＝６/ｘを使用していきます。表は下のようになります。
| x | －1 | －2 | －３ | －４ | －５ |
| y | －６ | －３ | －２ | －３/２ | －６/５ |
これは比例のときと異なり、不思議なグラフになります。それが下図になります（x＝-１、-２、-３、-４、-5）。
そして、y＝－６/ｘとなるとさらにxの値が－（マイナス）または＋（プラス）でグラフが変わります。ここではまとめて表にします（ｘ＝５～－５）。
| x | －５ | －４ | －３ | －２ | －１ | ０ | １ | ２ | ３ | ４ | ５ |
| y | 6/5 | 3/2 | 2 | 3 | 6 | / | －６ | －３ | －２ | －3/2 | －6/5 |
線グラフにすると下図になります。
このようにａの値がマイナスかプラスによって描く曲線が違いますね。こんがらがる方は多いかと思いますが、反比例でも比例でもまずはおちついて、ｘが１、２、３・・・の時ｙの値が何になるのかを順々に求めていって、グラフに当てはめていけば自ずとわかっていきます。あとは練習ですね！
練習問題
さて学校では比例・反比例の分野だと、どんな問題が出てくるでしょうか？以下に練習問題として６問ほど出します。わからなくてもいいので一度解いてみましょう！
１．x＝２のときy＝６である。xとｙが比例するとき、比例定数は？
２．ｙはｘに比例し、ｘ＝５のときｙ＝20である。ｘ＝８のときｙは？
３．ｘ＝４のときy＝６である。ｘとｙが反比例するとき、ｘ＝12の場合のｙは？
４．y は x に反比例し、x=3 のとき y=10 である。y を x を使った式で表すと？
５．ｙはｘに比例し、ｘ＝－２のときy＝４である。
ⅰ．比例定数は？
ⅱ．ｘ＝５のときｙは？
ⅲ．ｘ＝－5から＋5にかけたｙの値を下の表に書き、さらに折れ線グラフとして表しなさい。
| x | －5 | －4 | －3 | －2 | －1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y |
↓下に解答・解説があります。
１．３ 【解法】比例しているため、基本形のｙ＝ａｘに代入します。すると６＝２ａとなります。ａ＝３
２．32
【解法】比例とあるため、基本形ｙ＝ａｘを使用します。まず比例定数を求めるため、ｘ＝５、ｙ＝20を基本形に代入します。すると、20＝５ａとなります。ａ＝４と求まり、ここで挙げられている比例式はy＝４xだとわかります。問題はｘ＝８の時のｙの値なので、ｙ＝４×８＝32です。
３．２
【解法】反比例とあるため、基本形ｙ＝ａ/ｘを使用します。まず比例定数を求めたいので、基本形にｘ＝４、y＝６を代入します。 すると、６＝a/４となる。ａ＝24と求まり、ここでの反比例式はｙ＝24/ｘです。問題はｘ＝12の時のｙの値なので、ｙ＝24/12、ｙ＝2となります。
４．ｙ＝30/ｘ
【解法】反比例とあるため、基本形ｙ＝ａ/xを使用します。まず比例定数を求めたいので、基本形にｘ＝3 、 y=10を代入します。すると、10＝ａ/３となります。よってａ＝30と求まります。そして最初の基本形にａ＝30を代入すると、ｙ＝30/ｘです。
５．ⅰ．－2
ⅱ．－10
【解法】
ⅰ．比例とあるため、基本形ｙ＝ａｘを使用します。まず比例定数を求めるため、ｘ＝－2、ｙ＝４を基本形に代入します。すると、４＝－2ｘ。ａ＝－２となります。ここでの比例式はｙ＝－２ｘです。
ⅱ．ｘ＝５をｙ＝－２ｘに代入。y＝－10。
ⅲ．
| x | －5 | －4 | －3 | －2 | －1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | 10 | 8 | 6 | 4 | 2 | ０ | ー2 | －4 | －6 | －8 | －10 |
最後の問題はx＝－5から5を順々にy＝－２xに代入し、表にまとめたらできるものです。折れ線グラフを書くときのポイントは点を先に書くことです。それもxかつyが分数のものではなく、ちゃんと整数になっているものに点を打って、線を描きます。xまたはyどちらかが分数のものだと、点を書きづらくなるうえ、線を描いたときに若干ずれがちです。気を付けましょう。
最後に
いかがでしたでしょうか。基本形が比例・反比例、比例定数aが－（マイナス）・＋（プラス）、xが－（マイナス）・＋（プラス）で、大きくyの値は変わります。また、表と折れ線グラフも変わるので気を付けましょう。
特に折れ線グラフについては書かせる問題もよくあるため、比例・反比例の基本形または表から折れ線グラフをかけるように、教科書などで練習してみてください。
それではまた会いましょう！
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